Κύριο μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα για $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle 7 t, t^{2}, t^{3}\right\rangle$$$

Βρείτε το κύριο μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα για $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle 7 t, t^{2}, t^{3}\right\rangle$$$.

Για να βρούμε το κύριο μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα, πρέπει να βρούμε την παράγωγο του μοναδιαίου εφαπτομενικού διανύσματος $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)}$$$ και στη συνέχεια να την κανονικοποιήσουμε (να βρούμε το μοναδιαίο διάνυσμα).

Βρείτε το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα: $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{7}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 49}}, \frac{2 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 49}}, \frac{3 t^{2}}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 49}}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μοναδιαίου εφαπτόμενου διανύσματος).

$$$\mathbf{\vec{T}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{14 t \left(9 t^{2} + 2\right)}{\left(9 t^{4} + 4 t^{2} + 49\right)^{\frac{3}{2}}}, \frac{2 \left(49 - 9 t^{4}\right)}{\left(9 t^{4} + 4 t^{2} + 49\right)^{\frac{3}{2}}}, \frac{6 t \left(2 t^{2} + 49\right)}{\left(9 t^{4} + 4 t^{2} + 49\right)^{\frac{3}{2}}}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγων).

Βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα: $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle \frac{- 63 t^{3} - 14 t}{\sqrt{81 t^{8} + 4005 t^{6} + 2646 t^{4} + 21805 t^{2} + 2401}}, \frac{49 - 9 t^{4}}{\sqrt{81 t^{8} + 4005 t^{6} + 2646 t^{4} + 21805 t^{2} + 2401}}, \frac{6 t^{3} + 147 t}{\sqrt{81 t^{8} + 4005 t^{6} + 2646 t^{4} + 21805 t^{2} + 2401}}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μοναδιαίου διανύσματος).

Το κύριο μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα είναι $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle \frac{- 63 t^{3} - 14 t}{\sqrt{81 t^{8} + 4005 t^{6} + 2646 t^{4} + 21805 t^{2} + 2401}}, \frac{49 - 9 t^{4}}{\sqrt{81 t^{8} + 4005 t^{6} + 2646 t^{4} + 21805 t^{2} + 2401}}, \frac{6 t^{3} + 147 t}{\sqrt{81 t^{8} + 4005 t^{6} + 2646 t^{4} + 21805 t^{2} + 2401}}\right\rangle.$$$A