Πολλαπλασιαστές Λαγκράνζ: βρείτε τα μέγιστα και τα ελάχιστα της $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$, υπό τους περιορισμούς $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$

Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ υπό τον περιορισμό $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$.

Προσοχή! Αυτή η αριθμομηχανή δεν ελέγχει τις συνθήκες εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Λαγκράνζ. Χρησιμοποιήστε τη με δική σας ευθύνη: η απάντηση μπορεί να είναι λανθασμένη.

Αναδιατυπώστε τον περιορισμό $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ ως $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$.

Σχηματίστε τη Λαγκρανζιανή: $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$.

Βρείτε όλες τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

Στη συνέχεια, λύστε το σύστημα $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ ή $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}.$$$

Το σύστημα έχει τις ακόλουθες πραγματικές λύσεις: $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$.

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

Επειδή βρήκαμε μόνο μία τιμή, θα πρέπει να ελέγξετε αν είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε ένα άλλο σημείο που ικανοποιεί τους περιορισμούς και βρείτε την τιμή της συνάρτησης σε αυτό. Αν η τιμή σε αυτό το νέο σημείο είναι μικρότερη από την τιμή στο αρχικό σημείο, τότε το αρχικό σημείο είναι το μέγιστο. Αντίθετα, αν η τιμή στο νέο σημείο είναι μεγαλύτερη, τότε το αρχικό σημείο είναι το ελάχιστο.

Δεν είναι δυνατή η εύρεση του μέγιστου και του ελάχιστου.