Πολλαπλασιαστές Λαγκράνζ: βρείτε τα μέγιστα και τα ελάχιστα της $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$, υπό τους περιορισμούς $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$

Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ υπό τον περιορισμό $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$.

Προσοχή! Αυτή η αριθμομηχανή δεν ελέγχει τις συνθήκες εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Λαγκράνζ. Χρησιμοποιήστε τη με δική σας ευθύνη: η απάντηση μπορεί να είναι λανθασμένη.

Αναδιατυπώστε τον περιορισμό $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ ως $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$.

Σχηματίστε τη Λαγκρανζιανή: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$.

Βρείτε όλες τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

Στη συνέχεια, λύστε το σύστημα $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ ή $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}.$$$

Το σύστημα έχει τις ακόλουθες πραγματικές λύσεις: $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$.

$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

Συνεπώς, η ελάχιστη τιμή είναι $$$9$$$, και η μέγιστη τιμή είναι $$$\frac{729}{4}$$$.

Μέγιστο

$$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A σε $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A.

Ελάχιστο

$$$9$$$A σε $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A.