|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Πολλαπλασιαστές Λαγκράνζ: βρείτε τα μέγιστα και τα ελάχιστα της $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$, υπό τους περιορισμούς $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$
Σχετικός υπολογιστής: Υπολογιστής κρίσιμων σημείων, ακροτάτων και σημείων σέλας
Η είσοδός σας
Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ υπό τον περιορισμό $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$.
Λύση
Προσοχή! Αυτή η αριθμομηχανή δεν ελέγχει τις συνθήκες εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Λαγκράνζ. Χρησιμοποιήστε τη με δική σας ευθύνη: η απάντηση μπορεί να είναι λανθασμένη.
Αναδιατυπώστε τον περιορισμό $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ ως $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$.
Σχηματίστε τη Λαγκρανζιανή: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$.
Βρείτε όλες τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).
Στη συνέχεια, λύστε το σύστημα $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ ή $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}.$$$
Το σύστημα έχει την εξής πραγματική λύση: $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$.
$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$
Έστω το σημείο $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$.
Εφόσον $$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$ είναι μεγαλύτερο από $$$64$$$, συνάγεται ότι $$$64$$$ είναι το ελάχιστο.
Απάντηση
Μέγιστο
Δεν υπάρχει μέγιστο.
Ελάχιστο
$$$64$$$A σε $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A.