Κρίσιμα σημεία, ακρότατα και σημεία σέλας της $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$

Βρείτε και ταξινομήστε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$.

Το πρώτο βήμα είναι να βρούμε όλες τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

Στη συνέχεια, λύστε το σύστημα $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ ή $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$.

Το σύστημα έχει την εξής πραγματική λύση: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$.

Τώρα, ας προσπαθήσουμε να το ταξινομήσουμε.

Βρείτε όλες τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

Ορίστε την παράσταση $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}.$$$

Εφόσον $$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ είναι μικρότερο από $$$0$$$, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι $$$\left(0, 0\right)$$$ είναι σημείο σέλας.

Τοπικά Μέγιστα

Δεν υπάρχουν σχετικά μέγιστα.

Τοπικά Ελάχιστα

Δεν υπάρχουν τοπικά ελάχιστα.

Σημεία σέλας

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A