Υπολογιστής εμβαδού επιφάνειας εκ περιστροφής
Υπολογίστε το εμβαδόν επιφάνειας εκ περιστροφής βήμα προς βήμα
Ο υπολογιστής θα υπολογίσει το εμβαδόν της επιφάνειας εκ περιστροφής (γύρω από τον δοθέντα άξονα) της ρητά δοσμένης, πολικής ή παραμετρικής καμπύλης στο δοθέν διάστημα, με εμφάνιση των βημάτων.
Solution
Your input: find the area of the surface of revolution of $$$f\left(x\right)=x^{2}$$$ rotated about the x-axis on $$$\left[0,1\right]$$$
The surface area of the curve is given by $$$S = 2\pi \int_a^b f \left(x\right) \sqrt{\left(f'\left(x\right)\right)^2+1}d x$$$
First, find the derivative: $$$f '\left(x\right)=\left(x^{2}\right)'=2 x$$$ (steps can be seen here)
Finally, calculate the integral $$$S = \int_{0}^{1} 2 \pi x^{2} \sqrt{\left(2 x\right)^{2} + 1} d x=\int_{0}^{1} 2 \pi x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1} d x$$$
The calculations and the answer for the integral can be seen here.