|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Υπολογιστής σειρών Taylor και Maclaurin (σειρών δυνάμεων)
Βρείτε τη σειρά Taylor/Maclaurin βήμα προς βήμα
Ο υπολογιστής θα βρει την ανάπτυξη σε σειρά Taylor (ή δυναμοσειρά) της δοθείσας συνάρτησης γύρω από το δοθέν σημείο, με τα βήματα να εμφανίζονται. Μπορείτε να καθορίσετε την τάξη του πολυωνύμου Taylor. Αν θέλετε το πολυώνυμο Maclaurin, απλώς ορίστε το σημείο ίσο με $$$0$$$.
Solution
Your input: calculate the Taylor (Maclaurin) series of $$$x \ln{\left(x \right)}$$$ up to $$$n=5$$$
A Maclaurin series is given by $$$f\left(x\right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}\left(a\right)}{k!}x^k$$$
In our case, $$$f\left(x\right) \approx P\left(x\right) = \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}\left(a\right)}{k!}x^k=\sum\limits_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}\left(a\right)}{k!}x^k$$$
So, what we need to do to get the desired polynomial is to calculate the derivatives, evaluate them at the given point, and plug the results into the given formula.
$$$f^{(0)}\left(x\right)=f\left(x\right)=x \ln{\left(x \right)}$$$
Evaluate the function at the point: $$$f\left(0\right)=0$$$
Find the 1st derivative: $$$f^{(1)}\left(x\right)=\left(f^{(0)}\left(x\right)\right)^{\prime}=\left(x \ln{\left(x \right)}\right)^{\prime}=\ln{\left(x \right)} + 1$$$ (steps can be seen here).
Evaluate the 1st derivative at the given point: as can be seen, the 1st derivative does not exist at the given point.
Answer: the Taylor (Maclaurin) series can't be found at the given point.