|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Δεύτερη παράγωγος της $$$e^{3 x}$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής Παραγώγου, Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right)$$$.
Λύση
Βρείτε την πρώτη παράγωγο $$$\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)$$$
Η συνάρτηση $$$e^{3 x}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = 3 x$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)}$$Η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = e^{{\color{red}\left(3 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$c = 3$$$ και $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)} = e^{3 x} {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$3 e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 3 e^{3 x} {\color{red}\left(1\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right) = 3 e^{3 x}$$$.
Στη συνέχεια, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right) = \frac{d}{dx} \left(3 e^{3 x}\right)$$$
Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$c = 3$$$ και $$$f{\left(x \right)} = e^{3 x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 e^{3 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)\right)}$$Η συνάρτηση $$$e^{3 x}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = 3 x$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$3 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)\right)} = 3 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)}$$Η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$$3 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = 3 {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$3 e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = 3 e^{{\color{red}\left(3 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$c = 3$$$ και $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$3 e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)} = 3 e^{3 x} {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$9 e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 9 e^{3 x} {\color{red}\left(1\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(3 e^{3 x}\right) = 9 e^{3 x}$$$.
Επομένως, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right) = 9 e^{3 x}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right) = 9 e^{3 x}$$$A