No AI is used
  1. Αρχική
  2. Αριθμομηχανές
  3. Αριθμομηχανές: Απειροστικός Λογισμός I
  4. Αριθμομηχανή Μαθηματικού Λογισμού

Δεύτερη παράγωγος της $$$\csc{\left(x \right)}$$$

Ο υπολογιστής θα βρει τη δεύτερη παράγωγο της $$$\csc{\left(x \right)}$$$, με εμφάνιση των βημάτων.

Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής Παραγώγου, Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης

Αφήστε κενό για αυτόματη ανίχνευση.
Αφήστε κενό, αν δεν χρειάζεστε την τιμή της παραγώγου σε ένα συγκεκριμένο σημείο.

Εάν η αριθμομηχανή δεν υπολόγισε κάτι ή έχετε εντοπίσει κάποιο σφάλμα, ή έχετε κάποια πρόταση/σχόλιο, παρακαλούμε επικοινωνήστε μαζί μας.

Η είσοδός σας

Βρείτε $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\csc{\left(x \right)}\right)$$$.

Λύση

Βρείτε την πρώτη παράγωγο $$$\frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right)$$$

Η παράγωγος της συντέμνουσας είναι $$$\frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right) = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right)}$$

Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right) = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}$$$.

Στη συνέχεια, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\csc{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right)$$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$c = -1$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του γινομένου $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = \csc{\left(x \right)}$$$:

$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right)\right)} = - {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)}\right) \csc{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Η παράγωγος της συντέμνουσας είναι $$$\frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right) = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}$$$:

$$- \cot{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right)\right)} - \csc{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)}\right) = - \cot{\left(x \right)} {\color{red}\left(- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right)} - \csc{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)}\right)$$

Η παράγωγος της συνεφαπτομένης είναι $$$\frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)}\right) = - \csc^{2}{\left(x \right)}$$$:

$$\cot^{2}{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \csc{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)}\right)\right)} = \cot^{2}{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \csc{\left(x \right)} {\color{red}\left(- \csc^{2}{\left(x \right)}\right)}$$

Απλοποιήστε:

$$\cot^{2}{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} + \csc^{3}{\left(x \right)} = \left(-1 + \frac{2}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \csc{\left(x \right)}$$

Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right) = \left(-1 + \frac{2}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \csc{\left(x \right)}$$$.

Επομένως, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\csc{\left(x \right)}\right) = \left(-1 + \frac{2}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \csc{\left(x \right)}$$$.

Απάντηση

$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\csc{\left(x \right)}\right) = \left(-1 + \frac{2}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \csc{\left(x \right)}$$$A