Δεύτερη παράγωγος της $$$2^{n}$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής Παραγώγου, Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d^{2}}{dn^{2}} \left(2^{n}\right)$$$.
Λύση
Βρείτε την πρώτη παράγωγο $$$\frac{d}{dn} \left(2^{n}\right)$$$
Εφαρμόστε τον κανόνα των εκθετών $$$\frac{d}{dn} \left(m^{n}\right) = m^{n} \ln\left(m\right)$$$ με $$$m = 2$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(2^{n}\right)\right)} = {\color{red}\left(2^{n} \ln\left(2\right)\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dn} \left(2^{n}\right) = 2^{n} \ln\left(2\right)$$$.
Στη συνέχεια, $$$\frac{d^{2}}{dn^{2}} \left(2^{n}\right) = \frac{d}{dn} \left(2^{n} \ln\left(2\right)\right)$$$
Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dn} \left(c f{\left(n \right)}\right) = c \frac{d}{dn} \left(f{\left(n \right)}\right)$$$ με $$$c = \ln\left(2\right)$$$ και $$$f{\left(n \right)} = 2^{n}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(2^{n} \ln\left(2\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\ln\left(2\right) \frac{d}{dn} \left(2^{n}\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα των εκθετών $$$\frac{d}{dn} \left(m^{n}\right) = m^{n} \ln\left(m\right)$$$ με $$$m = 2$$$:
$$\ln\left(2\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(2^{n}\right)\right)} = \ln\left(2\right) {\color{red}\left(2^{n} \ln\left(2\right)\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dn} \left(2^{n} \ln\left(2\right)\right) = 2^{n} \ln^{2}\left(2\right)$$$.
Επομένως, $$$\frac{d^{2}}{dn^{2}} \left(2^{n}\right) = 2^{n} \ln^{2}\left(2\right)$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d^{2}}{dn^{2}} \left(2^{n}\right) = 2^{n} \ln^{2}\left(2\right)$$$A