Υπολογιστής διαφορικού συνάρτησης
Βρείτε το διαφορικό της συνάρτησης βήμα προς βήμα
Για τη δοσμένη συνάρτηση $$$y=f(x)$$$, το σημείο $$$x_0$$$ και τη μεταβολή του ορίσματος $$$\Delta x_0$$$, ο υπολογιστής θα βρει το διαφορικό $$$dy$$$ και τη μεταβολή της συνάρτησης $$$\Delta y$$$, με εμφάνιση των βημάτων.
Η είσοδός σας
Βρείτε το διαφορικό $$$dy$$$ και τη μεταβολή $$$\Delta y$$$ της συνάρτησης $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ όταν $$$x_{0} = 1$$$ και $$$\Delta x_{0} = \frac{1}{4}$$$.
Λύση
Βρείτε το δεύτερο σημείο: $$$x_{0} + \Delta x_{0} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$$.
Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα δύο σημεία: $$$f{\left(x_{0} + \Delta x_{0} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \frac{125}{64}$$$, $$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(1 \right)} = 1$$$.
Σύμφωνα με τον ορισμό: $$$\Delta y = f{\left(x_{0} + \Delta x_{0} \right)} - f{\left(x_{0} \right)} = \frac{125}{64} - 1 = \frac{61}{64}$$$.
Βρείτε την παράγωγο: $$$f^{\prime }\left(x\right) = 3 x^{2}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου).
Υπολογίστε την παράγωγο στο $$$x_{0} = 1$$$: $$$f^{\prime }\left(1\right) = 3$$$.
Το διαφορικό ορίζεται ως $$$dy = f^{\prime }\left(x_{0}\right) \Delta x_{0} = \left(3\right)\cdot \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$$$.
Παρατηρήστε ότι η τιμή του $$$dy$$$ πλησιάζει το $$$\Delta y$$$ καθώς $$$\Delta x_0 \to 0$$$.
Απάντηση
$$$\Delta y = \frac{61}{64} = 0.953125$$$A, $$$dy = \frac{3}{4} = 0.75$$$A.