No AI is used
  1. Αρχική
  2. Αριθμομηχανές
  3. Αριθμομηχανές: Άλγεβρα II
  4. Υπολογιστής Προαπειροστικού Λογισμού

Βρείτε $$$\sqrt{- \frac{5228171817}{100000000} - i}$$$

Αυτός ο υπολογιστής θα βρει όλες τις ρίζες της $$$n$$$-οστής τάξης ($$$n = 2$$$) του μιγαδικού αριθμού $$$- \frac{5228171817}{100000000} - i$$$, με εμφάνιση των βημάτων.

Εάν η αριθμομηχανή δεν υπολόγισε κάτι ή έχετε εντοπίσει κάποιο σφάλμα, ή έχετε κάποια πρόταση/σχόλιο, παρακαλούμε επικοινωνήστε μαζί μας.

Η είσοδός σας

Βρείτε $$$\sqrt{- \frac{5228171817}{100000000} - i}$$$.

Λύση

Η πολική μορφή του $$$- \frac{5228171817}{100000000} - i$$$ είναι $$$\frac{\sqrt{27343780548073081489}}{100000000} \left(\cos{\left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)} \right)} + i \sin{\left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)} \right)}\right)$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής πολικής μορφής).

Σύμφωνα με τον τύπο του De Moivre, όλες οι $$$n$$$-οστές ρίζες ενός μιγαδικού αριθμού $$$r \left(\cos{\left(\theta \right)} + i \sin{\left(\theta \right)}\right)$$$ δίνονται από $$$r^{\frac{1}{n}} \left(\cos{\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right)} + i \sin{\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right)}\right)$$$, $$$k=\overline{0..n-1}$$$.

Έχουμε ότι $$$r = \frac{\sqrt{27343780548073081489}}{100000000}$$$, $$$\theta = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}$$$ και $$$n = 2$$$.

  • $$$k = 0$$$: $$$\sqrt{\frac{\sqrt{27343780548073081489}}{100000000}} \left(\cos{\left(\frac{\left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}\right) + 2\cdot \pi\cdot 0}{2} \right)} + i \sin{\left(\frac{\left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}\right) + 2\cdot \pi\cdot 0}{2} \right)}\right) = \frac{\sqrt[4]{27343780548073081489}}{10000} \left(\cos{\left(- \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}}{2} \right)} + i \sin{\left(- \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}}{2} \right)}\right) = \frac{\sqrt[4]{27343780548073081489} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}}{2} \right)}}{10000} - \frac{\sqrt[4]{27343780548073081489} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}}{2} \right)}}{10000}$$$
  • $$$k = 1$$$: $$$\sqrt{\frac{\sqrt{27343780548073081489}}{100000000}} \left(\cos{\left(\frac{\left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}\right) + 2\cdot \pi\cdot 1}{2} \right)} + i \sin{\left(\frac{\left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}\right) + 2\cdot \pi\cdot 1}{2} \right)}\right) = \frac{\sqrt[4]{27343780548073081489}}{10000} \left(\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} + i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2} \right)}\right) = - \frac{\sqrt[4]{27343780548073081489} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}}{2} \right)}}{10000} + \frac{\sqrt[4]{27343780548073081489} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}}{2} \right)}}{10000}$$$

Απάντηση

$$$\sqrt{- \frac{5228171817}{100000000} - i} = \frac{\sqrt[4]{27343780548073081489} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}}{2} \right)}}{10000} - \frac{\sqrt[4]{27343780548073081489} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}}{2} \right)}}{10000}\approx 0.069147298993848 - 7.230940431158187 i$$$A

$$$\sqrt{- \frac{5228171817}{100000000} - i} = - \frac{\sqrt[4]{27343780548073081489} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}}{2} \right)}}{10000} + \frac{\sqrt[4]{27343780548073081489} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{100000000}{5228171817} \right)}}{2} \right)}}{10000}\approx -0.069147298993848 + 7.230940431158187 i$$$A