Πιθανές και υπαρκτές ρητές ρίζες του $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$
Η είσοδός σας
Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$.
Λύση
Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.
Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$-30$$$.
Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.
Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$1$$$.
Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.
Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$.
Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).
Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.
Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -60$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-60$$$.
Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$-1$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$2$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -84$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-84$$$.
Ελέγξτε $$$-2$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$24$$$.
Ελέγξτε $$$3$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = -96$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-96$$$.
Ελέγξτε $$$-3$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$36$$$.
Ελέγξτε $$$5$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = -60$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-60$$$.
Ελέγξτε $$$-5$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$-5$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$6$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - 6$$$.
$$$P{\left(6 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$6$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$-6$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.
$$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-60$$$.
Ελέγξτε $$$10$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - 10$$$.
$$$P{\left(10 \right)} = 660$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$660$$$.
Ελέγξτε $$$-10$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.
$$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-720$$$.
Ελέγξτε $$$15$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - 15$$$.
$$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$2880$$$.
Ελέγξτε $$$-15$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$.
$$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-2940$$$.
Ελέγξτε $$$30$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - 30$$$.
$$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$26040$$$.
Ελέγξτε $$$-30$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ με τον $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$.
$$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-26100$$$.
Απάντηση
Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A.
Πραγματικές ρητές ρίζες: $$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A.