Πιθανές και υπαρκτές ρητές ρίζες του $$$f{\left(x \right)} = x^{6} - 64$$$
Η είσοδός σας
Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$x^{6} - 64 = 0$$$.
Λύση
Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.
Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$-64$$$.
Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.
Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$1$$$.
Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.
Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{8}{1}$$$, $$$\pm \frac{16}{1}$$$, $$$\pm \frac{32}{1}$$$, $$$\pm \frac{64}{1}$$$.
Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).
Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -63$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-63$$$.
Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -63$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-63$$$.
Ελέγξτε $$$2$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$2$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$-2$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$-2$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$4$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - 4$$$.
$$$P{\left(4 \right)} = 4032$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$4032$$$.
Ελέγξτε $$$-4$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.
$$$P{\left(-4 \right)} = 4032$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$4032$$$.
Ελέγξτε $$$8$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - 8$$$.
$$$P{\left(8 \right)} = 262080$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$262080$$$.
Ελέγξτε $$$-8$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - \left(-8\right) = x + 8$$$.
$$$P{\left(-8 \right)} = 262080$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$262080$$$.
Ελέγξτε $$$16$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - 16$$$.
$$$P{\left(16 \right)} = 16777152$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$16777152$$$.
Ελέγξτε $$$-16$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - \left(-16\right) = x + 16$$$.
$$$P{\left(-16 \right)} = 16777152$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$16777152$$$.
Ελέγξτε $$$32$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - 32$$$.
$$$P{\left(32 \right)} = 1073741760$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$1073741760$$$.
Ελέγξτε $$$-32$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - \left(-32\right) = x + 32$$$.
$$$P{\left(-32 \right)} = 1073741760$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$1073741760$$$.
Ελέγξτε $$$64$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - 64$$$.
$$$P{\left(64 \right)} = 68719476672$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$68719476672$$$.
Ελέγξτε $$$-64$$$: διαιρέστε το $$$x^{6} - 64$$$ με τον $$$x - \left(-64\right) = x + 64$$$.
$$$P{\left(-64 \right)} = 68719476672$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$68719476672$$$.
Απάντηση
Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$A.
Πραγματικές ρητές ρίζες: $$$2$$$, $$$-2$$$A.