|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Πιθανές και υπαρκτές ρητές ρίζες του $$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$
Η είσοδός σας
Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49 = 0$$$.
Λύση
Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.
Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$-49$$$.
Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.
Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$1$$$.
Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.
Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{49}{1}$$$.
Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).
Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.
Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ με τον $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -96$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-96$$$.
Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -96$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-96$$$.
Ελέγξτε $$$7$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ με τον $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$7$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$-7$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ με τον $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$-7$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$49$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ με τον $$$x - 49$$$.
$$$P{\left(49 \right)} = 5649504$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$5649504$$$.
Ελέγξτε $$$-49$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ με τον $$$x - \left(-49\right) = x + 49$$$.
$$$P{\left(-49 \right)} = 5649504$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$5649504$$$.
Απάντηση
Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$A.
Πραγματικές ρητές ρίζες: $$$7$$$, $$$-7$$$A.