Πιθανές και υπαρκτές ρητές ρίζες του $$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$

Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$$$.

Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.

Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$9$$$.

Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.

Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.

Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$4$$$.

Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$.

Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.

Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).

Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -24$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-24$$$.

• Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = -24$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-24$$$.

• Ελέγξτε $$$\frac{1}{2}$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.

  Επομένως, το $$$\frac{1}{2}$$$ είναι ρίζα.

• Ελέγξτε $$$- \frac{1}{2}$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.

  Επομένως, το $$$- \frac{1}{2}$$$ είναι ρίζα.

• Ελέγξτε $$$\frac{1}{4}$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$\frac{429}{64}$$$.

• Ελέγξτε $$$- \frac{1}{4}$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{1}{4}\right) = x + \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$\frac{429}{64}$$$.

• Ελέγξτε $$$3$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.

  Επομένως, το $$$3$$$ είναι ρίζα.

• Ελέγξτε $$$-3$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.

  Επομένως, το $$$-3$$$ είναι ρίζα.

• Ελέγξτε $$$\frac{3}{2}$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = -54$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-54$$$.

• Ελέγξτε $$$- \frac{3}{2}$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = -54$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-54$$$.

• Ελέγξτε $$$\frac{3}{4}$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Ελέγξτε $$$- \frac{3}{4}$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{3}{4}\right) = x + \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Ελέγξτε $$$9$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - 9$$$.

  $$$P{\left(9 \right)} = 23256$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$23256$$$.

• Ελέγξτε $$$-9$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.

  $$$P{\left(-9 \right)} = 23256$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$23256$$$.

• Ελέγξτε $$$\frac{9}{2}$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{2} \right)} = 900$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$900$$$.

• Ελέγξτε $$$- \frac{9}{2}$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{9}{2}\right) = x + \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{2} \right)} = 900$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$900$$$.

• Ελέγξτε $$$\frac{9}{4}$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$- \frac{4851}{64}$$$.

• Ελέγξτε $$$- \frac{9}{4}$$$: διαιρέστε το $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{9}{4}\right) = x + \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$- \frac{4851}{64}$$$.

Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$A.

Πραγματικές ρητές ρίζες: $$$\frac{1}{2}$$$, $$$- \frac{1}{2}$$$, $$$3$$$, $$$-3$$$A.