Υπολογιστής Θεωρήματος Ρητών Ριζών
Βρείτε όλες τις πιθανές ρητές ρίζες των πολυωνύμων βήμα προς βήμα
Ο υπολογιστής θα βρει όλες τις πιθανές ρητές ρίζες του πολυωνύμου χρησιμοποιώντας το θεώρημα των ρητών ριζών. Στη συνέχεια, θα καθορίσει ποιες από τις πιθανές ρίζες είναι πράγματι ρίζες. Αυτό αποτελεί μια πιο γενική περίπτωση του θεωρήματος ακέραιων ριζών (όταν ο κύριος συντελεστής είναι $$$1$$$ ή $$$-1$$$). Τα βήματα είναι διαθέσιμα.
Η είσοδός σας
Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$.
Λύση
Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.
Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$7$$$.
Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.
Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$2$$$.
Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.
Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.
Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).
Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.
Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ με τον $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -12$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-12$$$.
Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$-1$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$\frac{1}{2}$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ με τον $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$\frac{1}{2}$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$- \frac{1}{2}$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$\frac{27}{4}$$$.
Ελέγξτε $$$7$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ με τον $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$4368$$$.
Ελέγξτε $$$-7$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ με τον $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$3780$$$.
Ελέγξτε $$$\frac{7}{2}$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ με τον $$$x - \frac{7}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$\frac{567}{4}$$$.
Ελέγξτε $$$- \frac{7}{2}$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$105$$$.
Απάντηση
Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A.
Πραγματικές ρητές ρίζες: $$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A.