Διαιρέστε το $$$x^{3} - 1$$$ με το $$$x - 2$$$

Γράψτε το πρόβλημα στην ειδική μορφή (οι παραλειπόμενοι όροι γράφονται με μηδενικούς συντελεστές):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-2&x^{3}+0 x^{2}+0 x-1\end{array}$$$

Βήμα 1

Διαιρέστε τον κύριο όρο του διαιρετέου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$x^{2} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}$$$.

Αφαιρέστε τον διαιρετέο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x^{3}-1\right) - \left(x^{3}- 2 x^{2}\right) = 2 x^{2}-1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{Crimson}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{Crimson}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Crimson}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{Crimson}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&2 x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

Βήμα 2

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$2 x \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(2 x^{2}-1\right) - \left(2 x^{2}- 4 x\right) = 4 x-1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Chocolate}+2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Chocolate}2 x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{Chocolate}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chocolate}2 x}\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Chocolate}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&4 x&-1&\end{array}$$

Βήμα 3

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{4 x}{x} = 4$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$4 \left(x-2\right) = 4 x-8$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(4 x-1\right) - \left(4 x-8\right) = 7$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+2 x&{\color{BlueViolet}+4}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&2 x^{2}&+0 x&-1&\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}4 x}&-1&\frac{{\color{BlueViolet}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{BlueViolet}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&-8&{\color{BlueViolet}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&7&\end{array}$$

Εφόσον ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τελειώσαμε.

Ο προκύπτων πίνακας εμφανίζεται ξανά:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}x^{2}}&{\color{Chocolate}+2 x}&{\color{BlueViolet}+4}&&\text{Υποδείξεις}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{Crimson}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{Crimson}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Crimson}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{Crimson}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Chocolate}2 x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{Chocolate}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chocolate}2 x}\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Chocolate}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}4 x}&-1&\frac{{\color{BlueViolet}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{BlueViolet}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&-8&{\color{BlueViolet}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&7&\end{array}$$

Επομένως, $$$\frac{x^{3} - 1}{x - 2} = \left(x^{2} + 2 x + 4\right) + \frac{7}{x - 2}$$$.