Διαιρέστε το $$$x^{3} \left(x - 1\right)$$$ με το $$$x - 2$$$

Επαναγράψτε τον διαιρετέο: $$$x^{3} \left(x - 1\right) = x^{4} - x^{3}$$$.

Γράψτε το πρόβλημα στην ειδική μορφή (οι παραλειπόμενοι όροι γράφονται με μηδενικούς συντελεστές):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-2&x^{4}- x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Βήμα 1

Διαιρέστε τον κύριο όρο του διαιρετέου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x^{4}}{x} = x^{3}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$x^{3} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}$$$.

Αφαιρέστε τον διαιρετέο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x^{4}- x^{3}\right) - \left(x^{4}- 2 x^{3}\right) = x^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{3}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{DarkCyan}x^{4}}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkCyan}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&{\color{DarkCyan}x^{3}} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Βήμα 2

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$x^{2} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- 2 x^{2}\right) = 2 x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&{\color{SaddleBrown}+x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{SaddleBrown}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&&2 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Βήμα 3

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$2 x \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(2 x^{2}\right) - \left(2 x^{2}- 4 x\right) = 4 x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&{\color{OrangeRed}+2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{OrangeRed}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{OrangeRed}2 x}\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{OrangeRed}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&&4 x&+0&\end{array}$$

Βήμα 4

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{4 x}{x} = 4$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$4 \left(x-2\right) = 4 x-8$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(4 x\right) - \left(4 x-8\right) = 8$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&+2 x&{\color{Blue}+4}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&&2 x^{2}&+0 x&+0&\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&&{\color{Blue}4 x}&+0&\frac{{\color{Blue}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}4}\\&&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&&4 x&-8&{\color{Blue}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&&8&\end{array}$$

Εφόσον ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τελειώσαμε.

Ο προκύπτων πίνακας εμφανίζεται ξανά:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{3}}&{\color{SaddleBrown}+x^{2}}&{\color{OrangeRed}+2 x}&{\color{Blue}+4}&&\text{Υποδείξεις}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{DarkCyan}x^{4}}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkCyan}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&{\color{DarkCyan}x^{3}} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{SaddleBrown}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{OrangeRed}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{OrangeRed}2 x}\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{OrangeRed}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&&{\color{Blue}4 x}&+0&\frac{{\color{Blue}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}4}\\&&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&&4 x&-8&{\color{Blue}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&&8&\end{array}$$

Επομένως, $$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)}{x - 2} = \left(x^{3} + x^{2} + 2 x + 4\right) + \frac{8}{x - 2}$$$.