Διαιρέστε το $$$x^{4}$$$ με το $$$x - 1$$$

Γράψτε το πρόβλημα στην ειδική μορφή (οι παραλειπόμενοι όροι γράφονται με μηδενικούς συντελεστές):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Βήμα 1

Διαιρέστε τον κύριο όρο του διαιρετέου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x^{4}}{x} = x^{3}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$x^{3} \left(x-1\right) = x^{4}- x^{3}$$$.

Αφαιρέστε τον διαιρετέο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{3}\right) = x^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Purple}x^{3}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Purple}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Purple}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Purple}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&{\color{Purple}x^{3}} \left(x-1\right) = x^{4}- x^{3}\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Βήμα 2

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&{\color{SaddleBrown}+x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{SaddleBrown}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Βήμα 3

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$x \left(x-1\right) = x^{2}- x$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&{\color{Green}+x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Green}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Green}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}x}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&- x&&{\color{Green}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&&x&+0&\end{array}$$

Βήμα 4

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x}{x} = 1$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$1 \left(x-1\right) = x-1$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&+x&{\color{Peru}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&&&{\color{Peru}x}&+0&\frac{{\color{Peru}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Peru}1}\\&&&&-\phantom{x}&&\\&&&&x&-1&{\color{Peru}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Εφόσον ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τελειώσαμε.

Ο προκύπτων πίνακας εμφανίζεται ξανά:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Purple}x^{3}}&{\color{SaddleBrown}+x^{2}}&{\color{Green}+x}&{\color{Peru}+1}&&\text{Υποδείξεις}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Purple}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Purple}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Purple}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&{\color{Purple}x^{3}} \left(x-1\right) = x^{4}- x^{3}\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{SaddleBrown}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{Green}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Green}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}x}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&- x&&{\color{Green}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&&{\color{Peru}x}&+0&\frac{{\color{Peru}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Peru}1}\\&&&&-\phantom{x}&&\\&&&&x&-1&{\color{Peru}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Επομένως, $$$\frac{x^{4}}{x - 1} = \left(x^{3} + x^{2} + x + 1\right) + \frac{1}{x - 1}$$$.