Διαιρέστε το $$$x^{3} + 7 x^{2} + 1$$$ με το $$$x - 1$$$

Γράψτε το πρόβλημα στην ειδική μορφή (οι παραλειπόμενοι όροι γράφονται με μηδενικούς συντελεστές):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+7 x^{2}+0 x+1\end{array}$$$

Βήμα 1

Διαιρέστε τον κύριο όρο του διαιρετέου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Αφαιρέστε τον διαιρετέο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x^{3}+7 x^{2}+1\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = 8 x^{2}+1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DarkCyan}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{DarkCyan}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkCyan}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\end{array}$$

Βήμα 2

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{8 x^{2}}{x} = 8 x$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$8 x \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(8 x^{2}+1\right) - \left(8 x^{2}- 8 x\right) = 8 x+1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{GoldenRod}+8 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{GoldenRod}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{GoldenRod}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{GoldenRod}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&8 x&+1&\end{array}$$

Βήμα 3

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{8 x}{x} = 8$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$8 \left(x-1\right) = 8 x-8$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(8 x+1\right) - \left(8 x-8\right) = 9$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+8 x&{\color{Crimson}+8}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&\\\hline\\&&&{\color{Crimson}8 x}&+1&\frac{{\color{Crimson}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Crimson}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{Crimson}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

Εφόσον ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τελειώσαμε.

Ο προκύπτων πίνακας εμφανίζεται ξανά:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{2}}&{\color{GoldenRod}+8 x}&{\color{Crimson}+8}&&\text{Υποδείξεις}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DarkCyan}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{DarkCyan}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkCyan}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{GoldenRod}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{GoldenRod}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{GoldenRod}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&{\color{Crimson}8 x}&+1&\frac{{\color{Crimson}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Crimson}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{Crimson}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

Επομένως, $$$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 1}{x - 1} = \left(x^{2} + 8 x + 8\right) + \frac{9}{x - 1}$$$.