Διαιρέστε το $$$x^{3}$$$ με το $$$x - 1$$$

Γράψτε το πρόβλημα στην ειδική μορφή (οι παραλειπόμενοι όροι γράφονται με μηδενικούς συντελεστές):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Βήμα 1

Διαιρέστε τον κύριο όρο του διαιρετέου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Αφαιρέστε τον διαιρετέο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DarkCyan}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkCyan}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkCyan}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Βήμα 2

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$x \left(x-1\right) = x^{2}- x$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkBlue}+x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkBlue}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{DarkBlue}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&x&+0&\end{array}$$

Βήμα 3

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x}{x} = 1$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$1 \left(x-1\right) = x-1$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+x&{\color{DeepPink}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}x}&+0&\frac{{\color{DeepPink}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{DeepPink}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Εφόσον ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τελειώσαμε.

Ο προκύπτων πίνακας εμφανίζεται ξανά:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{2}}&{\color{DarkBlue}+x}&{\color{DeepPink}+1}&&\text{Υποδείξεις}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DarkCyan}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkCyan}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkCyan}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkBlue}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{DarkBlue}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}x}&+0&\frac{{\color{DeepPink}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{DeepPink}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Επομένως, $$$\frac{x^{3}}{x - 1} = \left(x^{2} + x + 1\right) + \frac{1}{x - 1}$$$.