Διαιρέστε το $$$x^{6} - 1$$$ με το $$$x^{2} + 1$$$

Γράψτε το πρόβλημα στην ειδική μορφή (οι παραλειπόμενοι όροι γράφονται με μηδενικούς συντελεστές):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{6}+0 x^{5}+0 x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x-1\end{array}$$$

Βήμα 1

Διαιρέστε τον κύριο όρο του διαιρετέου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{4}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$x^{4} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}$$$.

Αφαιρέστε τον διαιρετέο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x^{6}-1\right) - \left(x^{6}+x^{4}\right) = - x^{4}-1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{SaddleBrown}x^{4}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{SaddleBrown}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}x^{4}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&{\color{SaddleBrown}x^{4}} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}\\\hline\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

Βήμα 2

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{- x^{4}}{x^{2}} = - x^{2}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$- x^{2} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(- x^{4}-1\right) - \left(- x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}-1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{4}&{\color{DarkBlue}- x^{2}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}- x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{DarkBlue}- x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkBlue}- x^{2}}\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkBlue}- x^{2}} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&&&x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

Βήμα 3

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$1 \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x^{2}-1\right) - \left(x^{2}+1\right) = -2$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{4}&- x^{2}&{\color{Crimson}+1}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&&&{\color{Crimson}x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{Crimson}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Crimson}1}\\&&&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&&&x^{2}&+0 x&+1&{\color{Crimson}1} \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-2&\end{array}$$

Εφόσον ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τελειώσαμε.

Ο προκύπτων πίνακας εμφανίζεται ξανά:

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{SaddleBrown}x^{4}}&{\color{DarkBlue}- x^{2}}&{\color{Crimson}+1}&&&&&\text{Υποδείξεις}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{SaddleBrown}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}x^{4}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&{\color{SaddleBrown}x^{4}} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}- x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{DarkBlue}- x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkBlue}- x^{2}}\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkBlue}- x^{2}} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&&&{\color{Crimson}x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{Crimson}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Crimson}1}\\&&&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&&&x^{2}&+0 x&+1&{\color{Crimson}1} \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-2&\end{array}$$

Επομένως, $$$\frac{x^{6} - 1}{x^{2} + 1} = \left(x^{4} - x^{2} + 1\right) + \frac{-2}{x^{2} + 1}$$$.