Διαιρέστε το $$$x^{3} - 2 x^{2}$$$ με το $$$x^{2} + 1$$$

Γράψτε το πρόβλημα στην ειδική μορφή (οι παραλειπόμενοι όροι γράφονται με μηδενικούς συντελεστές):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{3}- 2 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Βήμα 1

Διαιρέστε τον κύριο όρο του διαιρετέου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{x^{3}}{x^{2}} = x$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$x \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x$$$.

Αφαιρέστε τον διαιρετέο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(x^{3}- 2 x^{2}\right) - \left(x^{3}+x\right) = - 2 x^{2}- x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Purple}x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Purple}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Purple}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Purple}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{Purple}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&- 2 x^{2}&- x&+0&\end{array}$$

Βήμα 2

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{- 2 x^{2}}{x^{2}} = -2$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$- 2 \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(- 2 x^{2}- x\right) - \left(- 2 x^{2}-2\right) = - x+2$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x&{\color{BlueViolet}-2}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{3}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&\\\hline\\&&{\color{BlueViolet}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{BlueViolet}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{BlueViolet}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{BlueViolet}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

Εφόσον ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τελειώσαμε.

Ο προκύπτων πίνακας εμφανίζεται ξανά:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Purple}x}&{\color{BlueViolet}-2}&&&\text{Υποδείξεις}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Purple}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Purple}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Purple}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{Purple}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&{\color{BlueViolet}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{BlueViolet}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{BlueViolet}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{BlueViolet}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

Επομένως, $$$\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x^{2} + 1} = \left(x - 2\right) + \frac{2 - x}{x^{2} + 1}$$$.