Διαιρέστε το $$$9 x^{3} + 11 x - 3$$$ με το $$$3 x + 2$$$

Γράψτε το πρόβλημα στην ειδική μορφή (οι παραλειπόμενοι όροι γράφονται με μηδενικούς συντελεστές):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\3 x+2&9 x^{3}+0 x^{2}+11 x-3\end{array}$$$

Βήμα 1

Διαιρέστε τον κύριο όρο του διαιρετέου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{9 x^{3}}{3 x} = 3 x^{2}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$3 x^{2} \left(3 x+2\right) = 9 x^{3}+6 x^{2}$$$.

Αφαιρέστε τον διαιρετέο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(9 x^{3}+11 x-3\right) - \left(9 x^{3}+6 x^{2}\right) = - 6 x^{2}+11 x-3$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{OrangeRed}3 x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}3 x}+2&{\color{OrangeRed}9 x^{3}}&+0 x^{2}&+11 x&-3&\frac{{\color{OrangeRed}9 x^{3}}}{{\color{Magenta}3 x}} = {\color{OrangeRed}3 x^{2}}\\&-\phantom{9 x^{3}}&&&&\\&9 x^{3}&+6 x^{2}&&&{\color{OrangeRed}3 x^{2}} \left(3 x+2\right) = 9 x^{3}+6 x^{2}\\\hline\\&&- 6 x^{2}&+11 x&-3&\end{array}$$

Βήμα 2

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{- 6 x^{2}}{3 x} = - 2 x$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$- 2 x \left(3 x+2\right) = - 6 x^{2}- 4 x$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(- 6 x^{2}+11 x-3\right) - \left(- 6 x^{2}- 4 x\right) = 15 x-3$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&3 x^{2}&{\color{Purple}- 2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}3 x}+2&9 x^{3}&+0 x^{2}&+11 x&-3&\\&-\phantom{9 x^{3}}&&&&\\&9 x^{3}&+6 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Purple}- 6 x^{2}}&+11 x&-3&\frac{{\color{Purple}- 6 x^{2}}}{{\color{Magenta}3 x}} = {\color{Purple}- 2 x}\\&&-\phantom{- 6 x^{2}}&&&\\&&- 6 x^{2}&- 4 x&&{\color{Purple}- 2 x} \left(3 x+2\right) = - 6 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&15 x&-3&\end{array}$$

Βήμα 3

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{15 x}{3 x} = 5$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$5 \left(3 x+2\right) = 15 x+10$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(15 x-3\right) - \left(15 x+10\right) = -13$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&3 x^{2}&- 2 x&{\color{Chocolate}+5}&&\\\hline\\{\color{Magenta}3 x}+2&9 x^{3}&+0 x^{2}&+11 x&-3&\\&-\phantom{9 x^{3}}&&&&\\&9 x^{3}&+6 x^{2}&&&\\\hline\\&&- 6 x^{2}&+11 x&-3&\\&&-\phantom{- 6 x^{2}}&&&\\&&- 6 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&{\color{Chocolate}15 x}&-3&\frac{{\color{Chocolate}15 x}}{{\color{Magenta}3 x}} = {\color{Chocolate}5}\\&&&-\phantom{15 x}&&\\&&&15 x&+10&{\color{Chocolate}5} \left(3 x+2\right) = 15 x+10\\\hline\\&&&&-13&\end{array}$$

Εφόσον ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τελειώσαμε.

Ο προκύπτων πίνακας εμφανίζεται ξανά:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{OrangeRed}3 x^{2}}&{\color{Purple}- 2 x}&{\color{Chocolate}+5}&&\text{Υποδείξεις}\\\hline\\{\color{Magenta}3 x}+2&{\color{OrangeRed}9 x^{3}}&+0 x^{2}&+11 x&-3&\frac{{\color{OrangeRed}9 x^{3}}}{{\color{Magenta}3 x}} = {\color{OrangeRed}3 x^{2}}\\&-\phantom{9 x^{3}}&&&&\\&9 x^{3}&+6 x^{2}&&&{\color{OrangeRed}3 x^{2}} \left(3 x+2\right) = 9 x^{3}+6 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Purple}- 6 x^{2}}&+11 x&-3&\frac{{\color{Purple}- 6 x^{2}}}{{\color{Magenta}3 x}} = {\color{Purple}- 2 x}\\&&-\phantom{- 6 x^{2}}&&&\\&&- 6 x^{2}&- 4 x&&{\color{Purple}- 2 x} \left(3 x+2\right) = - 6 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&{\color{Chocolate}15 x}&-3&\frac{{\color{Chocolate}15 x}}{{\color{Magenta}3 x}} = {\color{Chocolate}5}\\&&&-\phantom{15 x}&&\\&&&15 x&+10&{\color{Chocolate}5} \left(3 x+2\right) = 15 x+10\\\hline\\&&&&-13&\end{array}$$

Επομένως, $$$\frac{9 x^{3} + 11 x - 3}{3 x + 2} = \left(3 x^{2} - 2 x + 5\right) + \frac{-13}{3 x + 2}$$$.