Διαιρέστε το $$$y^{3}$$$ με το $$$1 - y$$$

Γράψτε το πρόβλημα στην ειδική μορφή (οι παραλειπόμενοι όροι γράφονται με μηδενικούς συντελεστές):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- y+1&y^{3}+0 y^{2}+0 y+0\end{array}$$$

Βήμα 1

Διαιρέστε τον κύριο όρο του διαιρετέου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{y^{3}}{- y} = - y^{2}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$- y^{2} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}$$$.

Αφαιρέστε τον διαιρετέο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(y^{3}\right) - \left(y^{3}- y^{2}\right) = y^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}- y^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Crimson}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Crimson}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Crimson}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Crimson}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\end{array}$$

Βήμα 2

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{y^{2}}{- y} = - y$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$- y \left(- y+1\right) = y^{2}- y$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(y^{2}\right) - \left(y^{2}- y\right) = y$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&{\color{SaddleBrown}- y}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{SaddleBrown}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{SaddleBrown}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&y&+0&\end{array}$$

Βήμα 3

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{y}{- y} = -1$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$- \left(- y+1\right) = y-1$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(y\right) - \left(y-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&- y&{\color{DeepPink}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}y}&+0&\frac{{\color{DeepPink}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{DeepPink}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{DeepPink}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Εφόσον ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τελειώσαμε.

Ο προκύπτων πίνακας εμφανίζεται ξανά:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}- y^{2}}&{\color{SaddleBrown}- y}&{\color{DeepPink}-1}&&\text{Υποδείξεις}\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Crimson}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Crimson}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Crimson}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Crimson}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{SaddleBrown}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{SaddleBrown}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}y}&+0&\frac{{\color{DeepPink}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{DeepPink}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{DeepPink}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Επομένως, $$$\frac{y^{3}}{1 - y} = \left(- y^{2} - y - 1\right) + \frac{1}{1 - y}$$$.