Διαιρέστε το $$$u^{3}$$$ με το $$$u - 1$$$

Γράψτε το πρόβλημα στην ειδική μορφή (οι παραλειπόμενοι όροι γράφονται με μηδενικούς συντελεστές):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u-1&u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Βήμα 1

Διαιρέστε τον κύριο όρο του διαιρετέου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{u^{3}}{u} = u^{2}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$u^{2} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}$$$.

Αφαιρέστε τον διαιρετέο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}u^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Crimson}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Crimson}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Crimson}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Βήμα 2

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{u^{2}}{u} = u$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$u \left(u-1\right) = u^{2}- u$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&{\color{Peru}+u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Peru}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Peru}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Peru}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{Peru}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&u&+0&\end{array}$$

Βήμα 3

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{u}{u} = 1$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$1 \left(u-1\right) = u-1$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&+u&{\color{Green}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&&{\color{Green}u}&+0&\frac{{\color{Green}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Green}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{Green}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Εφόσον ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τελειώσαμε.

Ο προκύπτων πίνακας εμφανίζεται ξανά:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}u^{2}}&{\color{Peru}+u}&{\color{Green}+1}&&\text{Υποδείξεις}\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Crimson}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Crimson}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Crimson}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&{\color{Peru}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Peru}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Peru}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{Peru}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&{\color{Green}u}&+0&\frac{{\color{Green}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Green}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{Green}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Επομένως, $$$\frac{u^{3}}{u - 1} = \left(u^{2} + u + 1\right) + \frac{1}{u - 1}$$$.