Διαιρέστε το $$$u^{6}$$$ με το $$$u^{2} + 1$$$

Γράψτε το πρόβλημα στην ειδική μορφή (οι παραλειπόμενοι όροι γράφονται με μηδενικούς συντελεστές):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{6}+0 u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Βήμα 1

Διαιρέστε τον κύριο όρο του διαιρετέου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{u^{6}}{u^{2}} = u^{4}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$u^{4} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}$$$.

Αφαιρέστε τον διαιρετέο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(u^{6}\right) - \left(u^{6}+u^{4}\right) = - u^{4}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{DarkBlue}u^{4}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DarkBlue}u^{6}}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkBlue}u^{6}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkBlue}u^{4}}\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&{\color{DarkBlue}u^{4}} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}\\\hline\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Βήμα 2

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{- u^{4}}{u^{2}} = - u^{2}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$- u^{2} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(- u^{4}\right) - \left(- u^{4}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&u^{4}&{\color{Crimson}- u^{2}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&\\\hline\\&&&{\color{Crimson}- u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}- u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Crimson}- u^{2}}\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Crimson}- u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}\\\hline\\&&&&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Βήμα 3

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{u^{2}}{u^{2}} = 1$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$1 \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}+1\right) = -1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&u^{4}&- u^{2}&{\color{SaddleBrown}+1}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&\\\hline\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&&&&{\color{SaddleBrown}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&&&&u^{2}&+0 u&+1&{\color{SaddleBrown}1} \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-1&\end{array}$$

Εφόσον ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τελειώσαμε.

Ο προκύπτων πίνακας εμφανίζεται ξανά:

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{DarkBlue}u^{4}}&{\color{Crimson}- u^{2}}&{\color{SaddleBrown}+1}&&&&&\text{Υποδείξεις}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DarkBlue}u^{6}}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkBlue}u^{6}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkBlue}u^{4}}\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&{\color{DarkBlue}u^{4}} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}\\\hline\\&&&{\color{Crimson}- u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}- u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Crimson}- u^{2}}\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Crimson}- u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}\\\hline\\&&&&&{\color{SaddleBrown}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&&&&u^{2}&+0 u&+1&{\color{SaddleBrown}1} \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-1&\end{array}$$

Επομένως, $$$\frac{u^{6}}{u^{2} + 1} = \left(u^{4} - u^{2} + 1\right) + \frac{-1}{u^{2} + 1}$$$.