Διαιρέστε το $$$u^{4}$$$ με το $$$u^{2} + 1$$$

Γράψτε το πρόβλημα στην ειδική μορφή (οι παραλειπόμενοι όροι γράφονται με μηδενικούς συντελεστές):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Βήμα 1

Διαιρέστε τον κύριο όρο του διαιρετέου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{u^{4}}{u^{2}} = u^{2}$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$u^{2} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}$$$.

Αφαιρέστε τον διαιρετέο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(u^{4}\right) - \left(u^{4}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Red}u^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Red}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Red}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Βήμα 2

Διαιρέστε τον κύριο όρο του προκύπτοντος υπολοίπου με τον κύριο όρο του διαιρέτη: $$$\frac{- u^{2}}{u^{2}} = -1$$$.

Γράψτε το υπολογισμένο αποτέλεσμα στο άνω μέρος του πίνακα.

Πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη: $$$- \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1$$$.

Αφαιρέστε το υπόλοιπο από το αποτέλεσμα που προέκυψε: $$$\left(- u^{2}\right) - \left(- u^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&u^{2}&{\color{BlueViolet}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{BlueViolet}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{BlueViolet}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{BlueViolet}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Εφόσον ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τελειώσαμε.

Ο προκύπτων πίνακας εμφανίζεται ξανά:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Red}u^{2}}&{\color{BlueViolet}-1}&&&&\text{Υποδείξεις}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Red}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Red}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{BlueViolet}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{BlueViolet}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{BlueViolet}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Επομένως, $$$\frac{u^{4}}{u^{2} + 1} = \left(u^{2} - 1\right) + \frac{1}{u^{2} + 1}$$$.