Calculadora de Decomposição LU
Encontre a fatoração LU de uma matriz passo a passo
A calculadora encontrará (se possível) a decomposição LU da matriz dada $$$A$$$ , ou seja, uma matriz triangular inferior $$$L$$$ e uma matriz triangular superior $$$U$$$ que $$$A=LU$$$ , com as etapas mostradas.
No caso de pivotamento parcial (é necessária a permutação de linhas), a calculadora também encontrará a matriz de permutação $$$P$$$ tal que $$$PA=LU$$$.
Calculadora relacionada: Calculadora de fatoração QR
Sua entrada
Encontre a decomposição LU de $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$.
Solução
Comece pela matriz identidade $$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$.
Subtraia a linha $$$1$$$ multiplicada por $$$\frac{3}{2}$$$ da linha $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$
Escreva o coeficiente $$$\frac{3}{2}$$$ na matriz $$$L$$$ na linha $$$2$$$, coluna $$$1$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Subtraia a linha $$$1$$$ multiplicada por $$$\frac{1}{2}$$$ da linha $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$$$
Escreva o coeficiente $$$\frac{1}{2}$$$ na matriz $$$L$$$ na linha $$$3$$$, coluna $$$1$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Adicione a linha $$$2$$$ multiplicada por $$$\frac{3}{25}$$$ à linha $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$$$
Escreva o coeficiente $$$- \frac{3}{25}$$$ na matriz $$$L$$$ na linha $$$3$$$, coluna $$$2$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$$$
A matriz obtida é a matriz $$$U$$$.
Responder
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$$$A