Derivado de $$$\sqrt{1 - x^{2}}$$$
Calculadoras relacionadas: Calculadora de diferenciación logarítmica, Calculadora de diferenciación implícita con pasos
Tu aportación
Encuentra $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right)$$$.
Solución
La función $$$\sqrt{1 - x^{2}}$$$ es la composición $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de dos funciones $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ y $$$g{\left(x \right)} = 1 - x^{2}$$$.
Aplicar la regla de la cadena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)\right)}$$Aplique la regla de potencia $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ con $$$n = \frac{1}{2}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)$$Vuelva a la variable anterior:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(1 - x^{2}\right)}}}$$La derivada de una suma/diferencia es la suma/diferencia de derivadas:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right) - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}$$La derivada de una constante es $$$0$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}$$Aplique la regla de potencia $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = 2$$$:
$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = - \frac{{\color{red}\left(2 x\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}$$Por lo tanto, $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right) = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$$.
Respuesta
$$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right) = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$$A