$$$\left\{1, 2, 3, 4, 5\right\}$$$ 與 $$$\left\{1, 3, 6, 5, 8\right\}$$$ 的協方差

求 $$$\left\{1, 2, 3, 4, 5\right\}$$$ 與 $$$\left\{1, 3, 6, 5, 8\right\}$$$ 之間的樣本協方差。

資料的樣本共變異數由公式 $$$cov(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \mu_{x}\right)\cdot \left(y_{i} - \mu_{y}\right)}{n - 1}$$$ 給出，其中 $$$n$$$ 為數值的個數，$$$x_i, i=\overline{1..n}$$$ 和 $$$y_i, i=\overline{1..n}$$$ 為各自的數值，$$$\mu_{x}$$$ 為 x 值的平均數，$$$\mu_{y}$$$ 為 y 值的平均數。

x 值的算術平均數為 $$$\mu_{x} = 3$$$ (若要計算它，請參見 平均數計算器)。

y 值的平均值為 $$$\mu_{y} = \frac{23}{5}$$$（若要計算它，請參見 平均值計算器）。

由於我們有 $$$n$$$ 個點，$$$n = 5$$$。

$$$\left(x_{i} - \mu_{x}\right)\cdot \left(y_{i} - \mu_{y}\right)$$$的總和是$$$\left(1 - 3\right)\cdot \left(1 - \frac{23}{5}\right) + \left(2 - 3\right)\cdot \left(3 - \frac{23}{5}\right) + \left(3 - 3\right)\cdot \left(6 - \frac{23}{5}\right) + \left(4 - 3\right)\cdot \left(5 - \frac{23}{5}\right) + \left(5 - 3\right)\cdot \left(8 - \frac{23}{5}\right) = 16$$$。

因此，$$$cov(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \mu_{x}\right)\cdot \left(y_{i} - \mu_{y}\right)}{n - 1} = \frac{16}{4} = 4$$$。

樣本共變異數為 $$$cov(x,y) = 4$$$A。