三角形計算器

已知 $$$a = 9$$$, $$$b = 9 \sqrt{2}$$$, $$$C = 45^{\circ}$$$，解三角形。

根據餘弦定理：$$$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos{\left(C \right)}$$$。

在本例中，$$$c^{2} = 9^{2} + \left(9 \sqrt{2}\right)^{2} - \left(2\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(9 \sqrt{2}\right)\cdot \left(\cos{\left(45^{\circ} \right)}\right) = 81$$$。

因此，$$$c = 9$$$。

根據正弦定理：$$$\frac{a}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{c}{\sin{\left(C \right)}}$$$。

在本例中，$$$\frac{9}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{9}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}}$$$。

因此，$$$\sin{\left(A \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$。

有兩種可能的情況：

1. $$$A = 45^{\circ}$$$

   第三個角為 $$$B = 180^{\circ} - \left(A + C\right)$$$。

   在本例中，$$$B = 180^{\circ} - \left(45^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 90^{\circ}$$$。

   面積為 $$$S = \frac{1}{2} a b \sin{\left(C \right)} = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(9 \sqrt{2}\right)\cdot \left(\sin{\left(45^{\circ} \right)}\right) = \frac{81}{2}$$$。

   周長為 $$$P = a + b + c = 9 + 9 \sqrt{2} + 9 = 9 \left(\sqrt{2} + 2\right)$$$。

2. $$$A = 135^{\circ}$$$

   第三個角為 $$$B = 180^{\circ} - \left(A + C\right)$$$。

   在本例中，$$$B = 180^{\circ} - \left(135^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 0^{\circ}$$$。

   此情況不可能，因為該角為非正。

$$$a = 9$$$A

$$$b = 9 \sqrt{2}\approx 12.727922061357855$$$A

$$$c = 9$$$A

$$$A = 45^{\circ}$$$A

$$$B = 90^{\circ}$$$A

$$$C = 45^{\circ}$$$A

面積：$$$S = \frac{81}{2} = 40.5$$$A。

周長：$$$P = 9 \left(\sqrt{2} + 2\right)\approx 30.727922061357855$$$A。