正弦定理計算器

已知 $$$b = 3$$$, $$$A = 60^{\circ}$$$, $$$B = 45^{\circ}$$$，解三角形。

根據正弦定理：$$$\frac{a}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{b}{\sin{\left(B \right)}}$$$。

在本例中，$$$\frac{a}{\sin{\left(60^{\circ} \right)}} = \frac{3}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}}$$$。

因此，$$$a = \frac{3 \sin{\left(60^{\circ} \right)}}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$$$。

第三個角為 $$$C = 180^{\circ} - \left(A + B\right)$$$。

在本例中，$$$C = 180^{\circ} - \left(60^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 75^{\circ}$$$。

根據正弦定理：$$$\frac{c}{\sin{\left(C \right)}} = \frac{b}{\sin{\left(B \right)}}$$$。

在本例中，$$$\frac{c}{\sin{\left(75^{\circ} \right)}} = \frac{3}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}}$$$。

因此，$$$c = \frac{3 \sin{\left(75^{\circ} \right)}}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}} = \frac{3 \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2}$$$。

面積為 $$$S = \frac{1}{2} a b \sin{\left(C \right)} = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(\frac{3 \sqrt{6}}{2}\right)\cdot \left(3\right)\cdot \left(\sin{\left(75^{\circ} \right)}\right) = \frac{9 \left(\sqrt{3} + 3\right)}{8}$$$。

周長為 $$$P = a + b + c = \frac{3 \sqrt{6}}{2} + 3 + \frac{3 \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} = \frac{3 \left(\sqrt{3} + \sqrt{6} + 3\right)}{2}$$$。

$$$a = \frac{3 \sqrt{6}}{2}\approx 3.674234614174767$$$A

$$$b = 3$$$A

$$$c = \frac{3 \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2}\approx 4.098076211353316$$$A

$$$A = 60^{\circ}$$$A

$$$B = 45^{\circ}$$$A

$$$C = 75^{\circ}$$$A

面積：$$$S = \frac{9 \left(\sqrt{3} + 3\right)}{8}\approx 5.323557158514987$$$A。

周長：$$$P = \frac{3 \left(\sqrt{3} + \sqrt{6} + 3\right)}{2}\approx 10.772310825528083$$$A。