$$$\frac{u}{u^{2} + 4}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{u}{u^{2} + 4}\, du$$$。

令 $$$v=u^{2} + 4$$$。

則 $$$dv=\left(u^{2} + 4\right)^{\prime }du = 2 u du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$u du = \frac{dv}{2}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\frac{u}{u^{2} + 4} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

回顧一下 $$$v=u^{2} + 4$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{2} + 4\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{u}{u^{2} + 4} d u} = \frac{\ln{\left(u^{2} + 4 \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{u}{u^{2} + 4} d u} = \frac{\ln{\left(u^{2} + 4 \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{u}{u^{2} + 4}\, du = \frac{\ln\left(u^{2} + 4\right)}{2} + C$$$A