$$$9^{x} \sin{\left(9^{x} \right)}$$$ 的積分
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求$$$\int 9^{x} \sin{\left(9^{x} \right)}\, dx$$$。
解答
令 $$$u=9^{x}$$$。
則 $$$du=\left(9^{x}\right)^{\prime }dx = 9^{x} \ln{\left(9 \right)} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$9^{x} dx = \frac{du}{\ln{\left(9 \right)}}$$$。
該積分可改寫為
$${\color{red}{\int{9^{x} \sin{\left(9^{x} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \ln{\left(3 \right)}} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2 \ln{\left(3 \right)}}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \ln{\left(3 \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2 \ln{\left(3 \right)}}\right)}}$$
正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2 \ln{\left(3 \right)}} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2 \ln{\left(3 \right)}}$$
回顧一下 $$$u=9^{x}$$$：
$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \ln{\left(3 \right)}} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{9^{x}}} \right)}}{2 \ln{\left(3 \right)}}$$
因此，
$$\int{9^{x} \sin{\left(9^{x} \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(9^{x} \right)}}{2 \ln{\left(3 \right)}}$$
加上積分常數：
$$\int{9^{x} \sin{\left(9^{x} \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(9^{x} \right)}}{2 \ln{\left(3 \right)}}+C$$
答案
$$$\int 9^{x} \sin{\left(9^{x} \right)}\, dx = - \frac{\cos{\left(9^{x} \right)}}{2 \ln\left(3\right)} + C$$$A