將 $$$2 x^{4} - 3 x^{3} - 15 x^{2} + 32 x - 12$$$ 除以 $$$x^{2} - 4 x - 12$$$

請以特殊格式寫出題目：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}- 4 x-12&2 x^{4}- 3 x^{3}- 15 x^{2}+32 x-12\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{2 x^{4}}{x^{2}} = 2 x^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$2 x^{2} \left(x^{2}- 4 x-12\right) = 2 x^{4}- 8 x^{3}- 24 x^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(2 x^{4}- 3 x^{3}- 15 x^{2}+32 x-12\right) - \left(2 x^{4}- 8 x^{3}- 24 x^{2}\right) = 5 x^{3}+9 x^{2}+32 x-12$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Blue}2 x^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}- 4 x-12&{\color{Blue}2 x^{4}}&- 3 x^{3}&- 15 x^{2}&+32 x&-12&\frac{{\color{Blue}2 x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Blue}2 x^{2}}\\&-\phantom{2 x^{4}}&&&&&\\&2 x^{4}&- 8 x^{3}&- 24 x^{2}&&&{\color{Blue}2 x^{2}} \left(x^{2}- 4 x-12\right) = 2 x^{4}- 8 x^{3}- 24 x^{2}\\\hline\\&&5 x^{3}&+9 x^{2}&+32 x&-12&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{5 x^{3}}{x^{2}} = 5 x$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$5 x \left(x^{2}- 4 x-12\right) = 5 x^{3}- 20 x^{2}- 60 x$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(5 x^{3}+9 x^{2}+32 x-12\right) - \left(5 x^{3}- 20 x^{2}- 60 x\right) = 29 x^{2}+92 x-12$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&2 x^{2}&{\color{DeepPink}+5 x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}- 4 x-12&2 x^{4}&- 3 x^{3}&- 15 x^{2}&+32 x&-12&\\&-\phantom{2 x^{4}}&&&&&\\&2 x^{4}&- 8 x^{3}&- 24 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DeepPink}5 x^{3}}&+9 x^{2}&+32 x&-12&\frac{{\color{DeepPink}5 x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DeepPink}5 x}\\&&-\phantom{5 x^{3}}&&&&\\&&5 x^{3}&- 20 x^{2}&- 60 x&&{\color{DeepPink}5 x} \left(x^{2}- 4 x-12\right) = 5 x^{3}- 20 x^{2}- 60 x\\\hline\\&&&29 x^{2}&+92 x&-12&\end{array}$$

步驟 3

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{29 x^{2}}{x^{2}} = 29$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$29 \left(x^{2}- 4 x-12\right) = 29 x^{2}- 116 x-348$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(29 x^{2}+92 x-12\right) - \left(29 x^{2}- 116 x-348\right) = 208 x+336$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&2 x^{2}&+5 x&{\color{OrangeRed}+29}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}- 4 x-12&2 x^{4}&- 3 x^{3}&- 15 x^{2}&+32 x&-12&\\&-\phantom{2 x^{4}}&&&&&\\&2 x^{4}&- 8 x^{3}&- 24 x^{2}&&&\\\hline\\&&5 x^{3}&+9 x^{2}&+32 x&-12&\\&&-\phantom{5 x^{3}}&&&&\\&&5 x^{3}&- 20 x^{2}&- 60 x&&\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}29 x^{2}}&+92 x&-12&\frac{{\color{OrangeRed}29 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{OrangeRed}29}\\&&&-\phantom{29 x^{2}}&&&\\&&&29 x^{2}&- 116 x&-348&{\color{OrangeRed}29} \left(x^{2}- 4 x-12\right) = 29 x^{2}- 116 x-348\\\hline\\&&&&208 x&+336&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Blue}2 x^{2}}&{\color{DeepPink}+5 x}&{\color{OrangeRed}+29}&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}- 4 x-12&{\color{Blue}2 x^{4}}&- 3 x^{3}&- 15 x^{2}&+32 x&-12&\frac{{\color{Blue}2 x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Blue}2 x^{2}}\\&-\phantom{2 x^{4}}&&&&&\\&2 x^{4}&- 8 x^{3}&- 24 x^{2}&&&{\color{Blue}2 x^{2}} \left(x^{2}- 4 x-12\right) = 2 x^{4}- 8 x^{3}- 24 x^{2}\\\hline\\&&{\color{DeepPink}5 x^{3}}&+9 x^{2}&+32 x&-12&\frac{{\color{DeepPink}5 x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DeepPink}5 x}\\&&-\phantom{5 x^{3}}&&&&\\&&5 x^{3}&- 20 x^{2}&- 60 x&&{\color{DeepPink}5 x} \left(x^{2}- 4 x-12\right) = 5 x^{3}- 20 x^{2}- 60 x\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}29 x^{2}}&+92 x&-12&\frac{{\color{OrangeRed}29 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{OrangeRed}29}\\&&&-\phantom{29 x^{2}}&&&\\&&&29 x^{2}&- 116 x&-348&{\color{OrangeRed}29} \left(x^{2}- 4 x-12\right) = 29 x^{2}- 116 x-348\\\hline\\&&&&208 x&+336&\end{array}$$

因此，$$$\frac{2 x^{4} - 3 x^{3} - 15 x^{2} + 32 x - 12}{x^{2} - 4 x - 12} = \left(2 x^{2} + 5 x + 29\right) + \frac{208 x + 336}{x^{2} - 4 x - 12}$$$。