eMathHelp 數學解題器 – 免費逐步解題計算器

使用高斯-若爾當消去法計算 $$$\left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]^{-1}$$$。

為了求逆矩陣，將其與單位矩陣並排形成增廣矩陣，並進行初等列運算，使左邊化為單位矩陣。此時右邊就是逆矩陣。

因此，將矩陣與單位矩陣組成增廣矩陣：

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}a & b & 1 & 0\\c & d & 0 & 1\end{array}\right]$$$

將第 $$$1$$$ 行除以 $$$a$$$：$$$R_{1} = \frac{R_{1}}{a}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\c & d & 0 & 1\end{array}\right]$$$

從第$$$2$$$行減去$$$c$$$倍的第$$$1$$$行：$$$R_{2} = R_{2} - c R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\0 & d - \frac{b c}{a} & - \frac{c}{a} & 1\end{array}\right]$$$

將第 $$$2$$$ 行除以 $$$d - \frac{b c}{a}$$$：$$$R_{2} = \frac{R_{2}}{d - \frac{b c}{a}}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\0 & 1 & - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c}\end{array}\right]$$$

從第$$$1$$$行減去$$$\frac{b}{a}$$$倍的第$$$2$$$行：$$$R_{1} = R_{1} - \frac{b}{a} R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c}\\0 & 1 & - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c}\end{array}\right]$$$

我們完成了。左邊是單位矩陣。右邊是逆矩陣。

逆矩陣為 $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c}\\- \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c}\end{array}\right]$$$A。