向量$$$\left\langle 5, 1, 7\right\rangle$$$在$$$\left\langle 1, 1, 2\right\rangle$$$上的投影

计算$$$\mathbf{\vec{v}} = \left\langle 5, 1, 7\right\rangle$$$在$$$\mathbf{\vec{u}} = \left\langle 1, 1, 2\right\rangle$$$上的向量投影。

向量投影由$$$\operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u}}}\left(\mathbf{\vec{v}}\right) = \frac{\mathbf{\vec{v}}\cdot \mathbf{\vec{u}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert}^{2}} \mathbf{\vec{u}}$$$给出。

$$$\mathbf{\vec{v}}\cdot \mathbf{\vec{u}} = 20$$$（步骤参见点积计算器）。

$$$\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} = \sqrt{6}$$$ (步骤参见向量模长计算器).

因此，向量的投影为 $$$\operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u}}}\left(\mathbf{\vec{v}}\right) = \frac{20}{\left(\sqrt{6}\right)^{2}}\cdot \left\langle 1, 1, 2\right\rangle = \frac{10}{3}\cdot \left\langle 1, 1, 2\right\rangle = \left\langle \frac{10}{3}, \frac{10}{3}, \frac{20}{3}\right\rangle$$$（步骤见 vector scalar multiplication calculator）。

向量投影为 $$$\left\langle \frac{10}{3}, \frac{10}{3}, \frac{20}{3}\right\rangle\approx \left\langle 3.333333333333333, 3.333333333333333, 6.666666666666667\right\rangle$$$A。