|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Teğet Düzlem Hesaplayıcı
Adım adım teğet düzlemleri bulun
Hesaplayıcı, verilen noktada açık ve örtük eğriye teğet düzlemi, adımlar gösterilerek bulmaya çalışacaktır.
Girdiniz
$$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$$$'in $$$\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)$$$ noktasındaki teğet düzlemini hesaplayın.
Çözüm
Fonksiyon $$$F{\left(x,y,z \right)} = 0$$$ şeklinde yazılabilir, burada $$$F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$$$.
Kısmi türevleri bulun.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).
Verilen noktada türevleri hesaplayın.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2$$$
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6$$$
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$
Teğet düzlemin denklemi $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0.$$$
Bizim durumumuzda, $$$2 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0$$$.
Bu, $$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$ şeklinde yeniden yazılabilir.
Ya da daha basitçe: $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7$$$.
Cevap
Teğet düzlemin denklemi $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7$$$A.