|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lagrange çarpanları: $$$f{\left(x,y \right)} = x y$$$ fonksiyonunun maksimum ve minimumlarını, $$$x = 0$$$ kısıtı altında bulun
İlgili hesap makinesi: Kritik Noktalar, Ekstremumlar ve Eyer Noktaları Hesaplayıcısı
Girdiniz
$$$x = 0$$$ kısıtı altında $$$f{\left(x,y \right)} = x y$$$ fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulun.
Çözüm
Dikkat! Bu hesaplayıcı, Lagrange çarpanları yönteminin uygulanma koşullarını kontrol etmez. Kendi sorumluluğunuzda kullanın: sonuç hatalı olabilir.
Lagrange fonksiyonunu oluşturun: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = x y + \lambda x$$$.
Birinci mertebeden tüm kısmi türevleri bulun:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y + \lambda x\right) = \lambda + y$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y + \lambda x\right) = x$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y + \lambda x\right) = x$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).
Ardından, $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ veya $$$\begin{cases} \lambda + y = 0 \\ x = 0 \\ x = 0 \end{cases}$$$ sistemini çözün.
Sistemin aşağıdaki gerçek çözümü vardır: $$$\left(x, y\right) = \left(0, - \lambda\right)$$$.
$$$f{\left(0,- \lambda \right)} = 0$$$
Yalnızca bir değer bulduğumuz için, bunun maksimum mu minimum mu olduğunu yine de kontrol etmeniz gerekir. Bunu yapmak için, kısıt(lar)ı sağlayan başka bir nokta alın ve o noktada fonksiyonun değerini bulun. Eğer bu yeni noktadaki değer, ilk noktadaki değerden küçükse, o hâlde ilk nokta maksimumdur. Buna karşılık, yeni noktadaki değer daha büyükse, ilk nokta minimumdur.