Lagrange çarpanları: $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ fonksiyonunun maksimum ve minimumlarını, $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ kısıtı altında bulun

$$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ kısıtı altında $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulun.

Dikkat! Bu hesaplayıcı, Lagrange çarpanları yönteminin uygulanma koşullarını kontrol etmez. Kendi sorumluluğunuzda kullanın: sonuç hatalı olabilir.

Kısıt $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ ifadesini $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$ olarak yeniden yazın.

Lagrange fonksiyonunu oluşturun: $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$.

Birinci mertebeden tüm kısmi türevleri bulun:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

Ardından, $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ veya $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}$$$ sistemini çözün.

Sistemin aşağıdaki gerçel çözümleri vardır: $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$.

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

Yalnızca bir değer bulduğumuz için, bunun maksimum mu minimum mu olduğunu yine de kontrol etmeniz gerekir. Bunu yapmak için, kısıt(lar)ı sağlayan başka bir nokta alın ve o noktada fonksiyonun değerini bulun. Eğer bu yeni noktadaki değer, ilk noktadaki değerden küçükse, o hâlde ilk nokta maksimumdur. Buna karşılık, yeni noktadaki değer daha büyükse, ilk nokta minimumdur.

Maksimum ve minimum bulunamıyor.