|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lagrange çarpanları: $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ fonksiyonunun maksimum ve minimumlarını, $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ kısıtı altında bulun
İlgili hesap makinesi: Kritik Noktalar, Ekstremumlar ve Eyer Noktaları Hesaplayıcısı
Girdiniz
$$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ kısıtı altında $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulun.
Çözüm
Dikkat! Bu hesaplayıcı, Lagrange çarpanları yönteminin uygulanma koşullarını kontrol etmez. Kendi sorumluluğunuzda kullanın: sonuç hatalı olabilir.
Kısıt $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ ifadesini $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$ olarak yeniden yazın.
Lagrange fonksiyonunu oluşturun: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$.
Birinci mertebeden tüm kısmi türevleri bulun:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).
Ardından, $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ veya $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}$$$ sistemini çözün.
Sistemin aşağıdaki gerçel çözümleri vardır: $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$.
$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$
$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$
$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$
$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$
Dolayısıyla minimum değer $$$9$$$, maksimum değer ise $$$\frac{729}{4}$$$.
Cevap
Maksimum
$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A noktasındaki $$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A.
Minimum
$$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A noktasındaki $$$9$$$A.