|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lagrange çarpanları: $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ fonksiyonunun maksimum ve minimumlarını, $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ kısıtı altında bulun
İlgili hesap makinesi: Kritik Noktalar, Ekstremumlar ve Eyer Noktaları Hesaplayıcısı
Girdiniz
$$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ kısıtı altında $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulun.
Çözüm
Dikkat! Bu hesaplayıcı, Lagrange çarpanları yönteminin uygulanma koşullarını kontrol etmez. Kendi sorumluluğunuzda kullanın: sonuç hatalı olabilir.
Kısıt $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ ifadesini $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$ olarak yeniden yazın.
Lagrange fonksiyonunu oluşturun: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$.
Birinci mertebeden tüm kısmi türevleri bulun:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).
Ardından, $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ veya $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}$$$ sistemini çözün.
Sistemin aşağıdaki gerçek çözümü vardır: $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$.
$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$
$$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$ noktasını alın.
$$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$, $$$64$$$'den büyük olduğundan, $$$64$$$ minimumdur.
Cevap
Maksimum
Maksimum yok.
Minimum
$$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A noktasındaki $$$64$$$A.