|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kalkylator för tangentplan
Bestäm tangentplan steg för steg
Kalkylatorn kommer att försöka hitta tangentplanet till den explicita och den implicita kurvan i den givna punkten, med visade steg.
Din inmatning
Beräkna tangentplanet till $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$$$ i $$$\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)$$$.
Lösning
Funktionen kan skrivas på formen $$$F{\left(x,y,z \right)} = 0$$$, där $$$F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$$$.
Bestäm partialderivatorna.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).
Beräkna derivatorna i den givna punkten.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2$$$
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6$$$
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$
Tangentplanets ekvation är $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0.$$$
I vårt fall gäller $$$2 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0$$$.
Detta kan skrivas om som $$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$.
Eller, enklare: $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7$$$.
Svar
Tangentplanets ekvation är $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7$$$A.