Jacobi-matrisen och dess determinant för $$$\left\{x = 6 u + v, y = 9 u - v\right\}$$$

Beräkna Jacobianen för $$$\left\{x = 6 u + v, y = 9 u - v\right\}$$$.

Jacobianmatrisen definieras enligt följande: $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right].$$$

I vårt fall gäller $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial u} \left(6 u + v\right) & \frac{\partial}{\partial v} \left(6 u + v\right)\\\frac{\partial}{\partial u} \left(9 u - v\right) & \frac{\partial}{\partial v} \left(9 u - v\right)\end{array}\right].$$$

Bestäm derivatorna (för steg, se derivataräknare): $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}6 & 1\\9 & -1\end{array}\right]$$$

Jakobideterminanten är determinanten av Jakobimatrisen: $$$\left|\begin{array}{cc}6 & 1\\9 & -1\end{array}\right| = -15$$$ (för steg, se determinantkalkylator).

Jacobi-matrisen är $$$\left[\begin{array}{cc}6 & 1\\9 & -1\end{array}\right]$$$A.

Jacobi-determinanten är $$$-15$$$A.