Jacobi-matrisen och dess determinant för $$$\left\{u = x, v = y, w = x y\right\}$$$

Beräkna Jacobianen för $$$\left\{u = x, v = y, w = x y\right\}$$$.

Jacobianmatrisen definieras enligt följande: $$$J{\left(u,v,w \right)}\left(x, y\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\\\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y}\end{array}\right].$$$

I vårt fall gäller $$$J{\left(u,v,w \right)}\left(x, y\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial x} \left(x\right) & \frac{\partial x}{\partial y}\\\frac{\partial y}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \left(y\right)\\\frac{\partial}{\partial x} \left(x y\right) & \frac{\partial}{\partial y} \left(x y\right)\end{array}\right].$$$

Bestäm derivatorna (för steg, se derivataräknare): $$$J{\left(u,v,w \right)}\left(x, y\right) = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\\y & x\end{array}\right]$$$

Eftersom matrisen inte är kvadratisk, existerar inte Jacobi-determinanten.

Jacobi-matrisen är $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\\y & x\end{array}\right]$$$A.

Jacobi-determinanten existerar inte.