No AI is used
  1. Hem
  2. Kalkylatorer
  3. Kalkylatorer: Analys III
  4. Analyskalkylator

Jacobimatriskalkylator

Beräkna Jacobianen steg för steg

Kalkylatorn kommer att hitta Jakobianmatrisen för uppsättningen av funktioner samt Jakobiandeterminanten (om möjligt) och visa stegen.

Kommaseparerat.
Lämna tomt för automatisk identifiering eller ange variabler som x,y (kommaseparerade).

Om räknaren inte beräknade något, om du har identifierat ett fel eller om du har ett förslag/feedback, vänligen kontakta oss.

Din inmatning

Beräkna Jacobianen för $$$\left\{x = r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}, y = r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right\}$$$.

Lösning

Jacobianmatrisen definieras enligt följande: $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial x}{\partial r}\\\frac{\partial y}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial r}\end{array}\right].$$$

I vårt fall gäller $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial \eta} \left(r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial \eta} \left(r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right)\end{array}\right].$$$

Bestäm derivatorna (för steg, se derivataräknare): $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right]$$$

Jakobideterminanten är determinanten av Jakobimatrisen: $$$\left|\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right| = - r \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)}$$$ (för steg, se determinantkalkylator).

Svar

Jacobi-matrisen är $$$\left[\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right].$$$A

Jacobi-determinanten är $$$- r \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)}$$$A.