Divergens av $$$\left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$

Beräkna $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$.

Per definition gäller $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \nabla\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$, eller, ekvivalent, $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$, där $$$\cdot$$$ är skalärproduktoperatorn.

Alltså, $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right).$$$

Bestäm den partiella derivatan av komponenten 1 med avseende på $$$x$$$: $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) = 2 x y$$$ (för stegen, se derivative calculator).

Bestäm den partiella derivatan av komponenten 2 med avseende på $$$y$$$: $$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) = x z$$$ (för stegen, se derivative calculator).

Bestäm den partiella derivatan av komponenten 3 med avseende på $$$z$$$: $$$\frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right) = 2 y z$$$ (för stegen, se derivative calculator).

Summera nu ovanstående uttryck för att få divergensen: $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$.

$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$A