Dividera $$$x^{3}$$$ med $$$x - 1$$$

Skriv problemet i specialformatet (saknade termer skrivs med koefficienten noll):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Steg 1

Dividera den ledande termen i täljaren med den ledande termen i delaren: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Subtrahera dividenden från det erhållna resultatet: $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Peru}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Peru}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Peru}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Peru}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Peru}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Steg 2

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$x \left(x-1\right) = x^{2}- x$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{DeepPink}+x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DeepPink}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DeepPink}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{DeepPink}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&x&+0&\end{array}$$

Steg 3

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{x}{x} = 1$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$1 \left(x-1\right) = x-1$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+x&{\color{OrangeRed}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}x}&+0&\frac{{\color{OrangeRed}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{OrangeRed}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{OrangeRed}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Eftersom graden av resten är mindre än graden av delaren, är vi klara.

Den resulterande tabellen visas återigen:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Peru}x^{2}}&{\color{DeepPink}+x}&{\color{OrangeRed}+1}&&\text{Ledtrådar}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Peru}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Peru}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Peru}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Peru}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{DeepPink}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DeepPink}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{DeepPink}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}x}&+0&\frac{{\color{OrangeRed}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{OrangeRed}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{OrangeRed}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Således, $$$\frac{x^{3}}{x - 1} = \left(x^{2} + x + 1\right) + \frac{1}{x - 1}$$$.